Question

7．已知⊙C過點(diǎn)P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)題意列方程求得圓心的坐標(biāo)，求得半徑，則圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出PA，PB的直線方程，把直線PA與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示出方程的兩個解，進(jìn)而可表示出直線AB的斜率，判斷出兩直線的斜率相等．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)圓心C（a，b），則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}}\right.$，
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2．
（Ⅱ）解：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，
故可設(shè)PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），且k≠0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得（1+k²）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得x_A=$\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，
同理，x_B=$\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}-1）-k（{x_A}-1）}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{2k-k（{x_B}+{x_A}）}}{{{x_B}-{x_A}}}$=1=k_OP，
∴直線AB和OP一定平行．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．用待定系數(shù)法是解決圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題的常用方法．直線與圓的方程問題的綜合，直線與圓的方程聯(lián)立，利用代數(shù)的方法來解決問題，是解決本題的關(guān)鍵．