Question

10．過拋物線C：x²=4y對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點．
（1）當(dāng)直線l方程為x-2y+12=0時，過A，B兩點的圓M與拋物線在點A處有共同的切線，求圓M的方程
（2）設(shè)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，證明：$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+12=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4）．求出AB的垂直平分線方程，拋物線在點A處的切線斜率為3．利用待定系數(shù)法，求出圓M的方程；
（2）可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．由此可以推出$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）．

解答 （1）解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+12=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（-4，4），
則AB的中點為（1，$\frac{13}{2}$），斜率為k=$\frac{9-4}{6-（-4）}$=$\frac{1}{2}$，
故AB的垂直平分線方程為4x+2y-17=0．
由x²=4y得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，所以拋物線在點A處的切線斜率為3
設(shè)圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-9}{a-6}=-\frac{1}{3}}\\{a+b-14=0}\end{array}\right.$
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{23}{2}$，r²=$\frac{125}{2}$
所以圓M的方程為（x+$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{23}{2}$）²=$\frac{125}{2}$；
（2）證明：設(shè)AB方程為y=kx+m，A、B兩點的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0，x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4m
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，又點Q（0，2m），從而$\overrightarrow{QP}$=（0，2m）
$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$=（x₁-λx₂，y₁-λy₂+（1-λ）m），
所以$\overrightarrow{QP}$•（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）=2m[y₁-λy₂+（1-λ）m]=2m（x₁+x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+4m}{4{x}_{2}}$=0
所以$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查向量知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．