Question

1．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₂=4，a₃+2是a₂和a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2log₂a_n-1，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等比數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₃+2是a₂和a₄的等差中項，有等比數(shù)列的首項和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得首項和公比，代入等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）把（1）中求得的結(jié)果代入b_n=2log₂a_n-1，求出b_n，利用錯位相減法求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
因為a₂=4，所以a₃=4q，${a_4}=4{q^2}$．）
因為a₃+2是a₂和a₄的等差中項，所以2（a₃+2）=a₂+a₄．
即2（4q+2）=4+4q²，化簡得q²-2q=0．
因為公比q≠0，所以q=2．
所以${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=4×{2^{n-2}}={2^n}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）因為${a_n}={2^n}$，所以b_n=2log₂a_n-1=2n-1．
所以${a_n}{b_n}=（{2n-1}）{2^n}$．
則${T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（{2n-3}）{2^{n-1}}+（{2n-1}）{2^n}$，①，
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（{2n-3}）{2^n}+（{2n-1}）{2^{n+1}}$，②，
①-②得，$-{T_n}=2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}-（{2n-1}）{2^{n+1}}$．
=$2+2×\frac{{4（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n-1}）{2^{n+1}}=-6-（{2n-3}）{2^{n+1}}$，
所以${T_n}=6+（{2n-3}）{2^{n+1}}$．

點評 本題考查等比數(shù)列求通項公式和等差、等比中項的概念及錯位相減法求數(shù)列的前項和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運算能力，屬中檔題．