Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3x+1，若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：分離參數(shù)得x+

3

x

+

1

x2

≥-3a．令g（x）=x+

3

x

+

1

x2

，則問題轉化為g（x）_min≥-3a．利用導數(shù)可求得g（x）_min．

解答： 解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x³+3ax²+3x+1≥0，即x+

3

x

+

1

x2

≥-3a．
令g（x）=x+

3

x

+

1

x2

，則g'（x）=1-

3

x2

-

2

x3

=

x3-3x-2

x3

，
下面我們證g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．
令h（x）=x³-3x-2，則h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上為增函數(shù)，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（2）=

15

4

，
-3a≤g（2）=

15

4

，
解得a≥-

5

4

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．