Question

已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，比較g(x)與g(

1

x

)的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，利用作差法即可比較g(x)與g(

1

x

)的大�。�

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=

1

x

，
則g（x）=af（x）+f′（x）=alnx+

1

x

，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則g′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

，
①若a≤0，由g′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，減區(qū)間為（0，+∞），
②若a＞0，由g′（x）＞0，得x＞

1

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為（

1

a

，+∞），
由g′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，減區(qū)間為（0，

1

a

）；
（2）當(dāng)a=1時，g（x）=lnx+

1

x

，g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x，
g（x）-g（

1

x

）=2lnx+

1

x

-x，
設(shè)u（x）=2lnx+

1

x

-x，
則u′（x）=

2

x

-

1

x2

-1=

-x2+2x-1

x2

=

-(x-1)2

x2

，
①當(dāng)x=1時，u（x）=0，此時g（x）=g（

1

x

），
②當(dāng)0＜x＜1，u′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
u（x）＞u（1）=0，∴g（x）＞g（

1

x

），
③當(dāng)x＞1，u′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
u（x）＜u（1）=0，∴g（x）＜g（

1

x

）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)大小的比較，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．