Question

15．由9個互不相等的正數組成的矩陣$（{\begin{array}{l}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}\end{array}}）$中，每行中的三個數成等差數列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，下列四個判斷正確的個數為4個．
①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數列       
②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數列
③a₁₂+a₃₂＞a₂₁+a₂₃  
④若9個數之和等于9，則a₂₂＜1．

Answer 1

分析 先由題意設列出由9個正數組成的矩陣，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=2（b+m），得到③④正確；再根據題設列舉出由9個正數組成的特殊矩陣判斷②正確即可．

解答 解：由題意設由9個正數組成的矩陣是：$（\begin{array}{l}{a}&{a+d}&{a+2d}\\&{b+m}&{b+2m}\\{c}&{c+n}&{c+2n}\end{array}）$，
由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數列，
則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確；
（a+d）+（c+n）≥2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=2（b+m），故③正確；
再題意設由9個正數組成的矩陣是：$（\begin{array}{l}{1}&{2}&{3}\\{2.5}&{4}&{5.5}\\{6.5}&{8}&{9.5}\end{array}）$，故②正確；
對于④，若9個數之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=3-2（b+m），
∴b+m≤1，即a₂₂≤1，故④正確；
故答案為：4個．

點評 本小題主要考查等比數列的性質、等差數列的性質、三階矩陣等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．