Question

20．已知曲線C：x²+2y²=8，設(shè)曲線C與y軸的交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A、G、N三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k²＞$\frac{3}{2}$，設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），從而可得$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共線，利用韋達(dá)定理，可以證明．

解答 證明：曲線C：x²+2y²=8，
當(dāng)x=0時，y=±2，
故A（0，2），B（0，-2）
將直線y=kx+4代入橢圓方程x²+2y²=8得：（2k²+1）x²++16kx+24=0，
若y=kx+4與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，
則△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
由韋達(dá)定理得：x_m+x_n=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$  ①，
x_m•x_n=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$    ②，
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程為：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，則G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共線，
即$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，
將①②代入可得等式成立，
則A，G，N三點(diǎn)共線得證．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．