Question

18．已知$tanθ=\frac{1}{2}$，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
（1）求cos2θ與$tan（θ+\frac{π}{4}）$的值；
（2）若$5cos（θ-ϕ）=3\sqrt{5}cosϕ，0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，求ϕ的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式與“弦化切”可得cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ+1}$，$tan（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$；
（2）由$tanθ=\frac{1}{2}$，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．可得sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．根據(jù)$5cos（θ-ϕ）=3\sqrt{5}cosϕ，0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，展開：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3$\sqrt{5}$cosΦ，代入化簡即可得出．

解答 解：（1）cos2θ=cos²θ-sin²θ=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
$tan（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=3；
（2）由$tanθ=\frac{1}{2}$，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴$5cos（θ-ϕ）=3\sqrt{5}cosϕ，0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，
展開：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3$\sqrt{5}$cosΦ，
化為：$5×\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosΦ+5×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×sinΦ=3$\sqrt{5}$cosΦ，
∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，
∴tanΦ=1，
∴Φ=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．