Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{n+1}{2n}{a_n}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=n（2-S_n），n∈N^*，若b_n≤λ，n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}\frac{a_n}{n}$，其中n∈N^*，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}\frac{a_n}{n}$，其中n∈N^*，
∴數(shù)列$\{\frac{a_n}{n}\}$是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}$，
∵$\frac{a_n}{n}=\frac{1}{2^n}$，∴${a_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$，
（2）由（1）知${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
∵$\frac{1}{2}{S_n}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${S_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．
因此${b_n}=\frac{n（n+2）}{2^n}$，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{（n+1）（n+3）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n（n+2）}{2^n}=\frac{{-{n^2}+3}}{{{2^{n+1}}}}$，
∴當(dāng)n=1，b₂-b₁＞0，即b₂＞b₁，n≥2，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n．
∴b₂是最大項(xiàng)b₂=2，
∴λ≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．