【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.
(I)求數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(III)已知數(shù)列滿足.若對(duì)任意,存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】試題分析:(I)由點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上,可得,進(jìn)而得,兩式相減可得結(jié)論.;(II)由(I)知,所以,利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果;(III),利用分組求和及裂項(xiàng)相消法可得,進(jìn)而利用不等式恒成立解答即可.
試題解析:(I)由題知,當(dāng)時(shí), ,所以.
,所以,兩式相減得到
,
因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列,所以,
數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以.
(II)由(I)知,所以,
因此①,
②,
由①-②得到
所以.
(III)由(II)知,所以
.令為的前項(xiàng)和,易得.
因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí),
,而,得到
,所以當(dāng)時(shí), ,所以.
又, 的最大值為.
因?yàn)閷?duì)任意的,存在,使得成立.
所以,由此.
【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查分組求和、裂項(xiàng)求和、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和,以及不等式恒成立問(wèn)題,屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn),利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積);②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào);③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò);④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).
(1)直線過(guò)且與曲線相切, 求直線的極坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn) 與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱, 求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)象棋中規(guī)定:馬走“日”字,象走“田”字.如下圖,在中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤(的矩形中每個(gè)小方格都是單位正方形)中,若馬在處,可跳到處,也可跳到處,用向量,表示馬走了“一步”.通過(guò)探究,你能在圖中畫(huà)出馬在處走了一步的所有情況嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求的值;
(2)若對(duì)任意的,都有成立(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),求實(shí)數(shù)的最小值;
(3)證明:().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列中,,且對(duì)任意的成等比數(shù)列,其公比為.
(1)若,求;
(2)若對(duì)任意的成等差數(shù)列,其公差為.設(shè).
①求證:成等差數(shù)列并指出其公差;
②若,試求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再?gòu)?/span>勻速步行到,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,山路長(zhǎng)為1260,經(jīng)測(cè)量,.
(1)求索道的長(zhǎng);
(2)問(wèn):乙出發(fā)多少后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò),乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集為{x|-2≤x≤3},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)n使f(n)≤m-f(-n)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間,為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制,以便向該地區(qū)居民顯示可以過(guò)正常生活,有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”,根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算,下列各個(gè)選項(xiàng)中,一定符合上述指標(biāo)的是__________.
①平均數(shù); ②標(biāo)準(zhǔn)差; ③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差;
④平均數(shù)且極差小于或等于2; ⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-1《幾何證明選講》
已知A、B、C、D為圓O上的四點(diǎn),直線DE為圓O的切線,AC∥DE,AC與BD相交于H點(diǎn)
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的長(zhǎng).
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