Question

16．已知奇函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x²）+f（k-x）=0在[0，1]無實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 由題意可得[0，1]上，方程x²-x+k=0無解，求得函數(shù)k=x-x²在[0，1]上的值域，再取補集，即得所求．

解答 解：奇函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x²）+f（k-x）=0在[0，1]無實數(shù)解，
在[0，1]上，不存在x的值，使f（x²）+f（k-x）=0，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，又函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
∴不存在x∈[0，1]的值，使x²=x-k，
即[0，1]上，方程x²-x+k=0無解．
由于函數(shù)k=x-x²在[0，1]上的值域為[0，$\frac{1}{4}$]，
則要求的實數(shù)k的取值范圍是{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}，
故答案為：{k|k＜0，或 k＞$\frac{1}{4}$}．

點評 本題考察了函數(shù)的零點，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．