Question

6．為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2016年舉行某一產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-$\frac{k}{2t+1}$（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2016年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均生產投入成本的1.5倍（生產投入成本包括生產固定投入和生產再投入兩部分）．
（1）求常數(shù)k，并將該廠家2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2016年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？

Answer 1

分析 （1）利用不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，可求k的值；確定每件產品的銷售價格，結合廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍，即可求得函數(shù)解析式；
（2）利用基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由題意，不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，知t=0時，x=1（萬件），
∴1=4-k，得k=3，
從而x=4-$\frac{3}{2t+1}$，又每件產品的銷售價格為1.5×$\frac{6+12x}{x}$元，
∴2016年的利潤為y=1.5×$\frac{6+12x}{x}$×x-（6+12x+t）=3+6x-t=27-$\frac{18}{2t+1}$-t（t≥0）；
（2）設2t+1=m（m≥1），由（1）得，y=$\frac{55}{2}$-（$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$），
∵m≥01時，$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$≥2$\sqrt{9}$=6，
∴y≤$\frac{43}{2}$，
當且僅當$\frac{18}{m}$=$\frac{m}{2}$，即m=6，t=2.5（萬元）時取等號，此時，y_max=$\frac{43}{2}$（萬元）．
答：該廠家2016年的促銷費用投入2.5萬元時，廠家的利潤最大，最大值為$\frac{43}{2}$萬元．

點評 本題考查根據實際問題選擇函數(shù)類型，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定函數(shù)解析式．