Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2cosx，x∈（0，π），π＞a＞b＞0，設(shè)m=f（$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$），n=f（$\sqrt{ab}$），t=f（$\frac{a+b}{2}$），則m，n，t的大小關(guān)系為m＞t＞n．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)f（x）=x²+2cosx在（0，π）上為增函數(shù)，由不等式的性質(zhì)得到$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，由此得到m，n，t的大�。�

解答 解：由f（x）=x²+2cosx，x∈（0，π），
得f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx）＞0在（0，π）上成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，π）上為增函數(shù)，
又a＞b＞0，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2（{a}^{2}+^{2}）}{4}}$$＞\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{4}}$=$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$，
則m＞t＞n．
故答案為：m＞t＞n．

點評 本題考查不等式的大小比較，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式的性質(zhì)，是中檔題．