Question

5．已知等差數列{a_n}的公差d≠0，{a_n}中的部分項組成的數列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$，…恰好為等比數列，其中k₁=3，k₂=5，k₃=17，求數列{k_n}的通項公式．

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的首項為a₁，從而可得a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁+（k₁-1）d=a₁+2d，a${\;}_{{k}_{2}}$=a₁+（k₂-1）d=a₁+4d，a${\;}_{{k}_{3}}$=a₁+（k₃-1）d=a₁+16d，結合等比數列的性質可得（a₁+4d）²=（a₁+2d）（a₁+16d），從而解得a₁=-$\frac{8}{5}$d，從而判斷出數列{5k_n-13}是以15-13=2為首項，以6為公比的等比數列，從而解得．

解答 解：設等差數列{a_n}的首項為a₁，
則a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁+（k₁-1）d=a₁+2d，
a${\;}_{{k}_{2}}$=a₁+（k₂-1）d=a₁+4d，
a${\;}_{{k}_{3}}$=a₁+（k₃-1）d=a₁+16d，
∵數列a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，a${\;}_{{k}_{3}}$，…，a${\;}_{{k}_{n}}$，…恰好為等比數列，
∴（a₁+4d）²=（a₁+2d）（a₁+16d），
解得，a₁=-$\frac{8}{5}$d，
故a${\;}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d=$\frac{5{k}_{n}-13}{5}$d，
驗證可知$\frac{{a}_{{k}_{2}}}{{a}_{{k}_{1}}}$=$\frac{\frac{12}{5}d}{\frac{2}{5}d}$=6，
故數列{5k_n-13}是以15-13=2為首項，以6為公比的等比數列，
故5k_n-13=2•6^n-1，
故k_n=$\frac{2•{6}^{n-1}+13}{5}$．

點評 本題考查了等比數列與等差數列的性質的判斷與應用，同時考查了整體思想與構造法的應用．