Question

16．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（3，0），若以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是40，則該橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=40}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=40}\end{array}\right.$，解得c=3，a=5，b=4．
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、四邊形形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．