Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦點為${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點 M，N，若 OM⊥ON（ O為坐標原點），證明：點 O到直線l的距離為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦點為${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，c，b，即可求橢圓C的方程；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，即可得到結(jié)論．

解答 （I）解：∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦點為${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，∴b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線MN的方程y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
∵OM⊥ON，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原點O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
綜上，點O到直線AB的距離為定值，定值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達定理是解題的關(guān)鍵．