Question

17．已知平面內(nèi)n（n∈N⁺）條直線，任意兩條都相交，任意三條不共點，這n條直線將平面分割成a_n個區(qū)域，則a_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$．

Answer 1

分析 因為第n（n≥2）條直線與前n-1條直線都相交且不共點，則它被前n-1條直線分割成n段，每一段將它所在的原區(qū)域一分為二，即在原區(qū)域數(shù)上增加了n個，故a_n=a_n-1+n（n≥2），利用累加法可得答案．

解答 解：∵a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
注意到a_n=a_n-1+n（n≥2），
因為第n（n≥2）條直線與前n-1條直線都相交且不共點，
則它被前n-1條直線分割成n段，
每一段將它所在的原區(qū)域一分為二，
即在原區(qū)域數(shù)上增加了n個，
故a_n=a_n-1+n（n≥2）；
則a₂=a₁+2，
a₃=a₂+3，
a₄=a₃+4，
…
a_n=a_n-1+n
將這n-1個式子累加得：a_n=a₁+2+3+…+n=1+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$．
故答案為：$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$

點評 本題考查的知識點是合情推理--歸納推理，其中根據(jù)已知分析出a_n滿足：a_n=a_n-1+n（n≥2），是解答的關鍵．