Question

【題目】【2018河北保定市高三上學(xué)期期末調(diào)研】如圖，四面體中， 、分別、的中點(diǎn)， ， ．

（I）求證： 平面；

（II）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的大小；

（III）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）；（III）．

【解析】試題分析：（1）由已知條件得出，由計(jì)算得出，得出，再由線(xiàn)面垂直的判定定理得出平面；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，求出的值為，得出結(jié)果；（3）求出平面ABC的一個(gè)法向量，由點(diǎn)到平面的距離公式算出結(jié)果。

試題解析：（1）連接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由題設(shè)知 AO=， ,AC= ，

∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，

∵AO⊥BD，BD∩OC=O，

∴AO⊥平面BCD；

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0， ），B（，0，0），C（0， ，0），D（﹣，0，0），, ， ，∴異面直線(xiàn)AD與BC所成角的余弦值大小為 .

（3）解：由（2）知： , .

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則

，

令y=1，得=（，1，）

又，

∴點(diǎn)D到平面ABC的距離.