Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，．

（1）求證：；

（2）試在線段上找一點(diǎn)，使平面，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為的中點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）連接，過作，垂足為，又滿足線面垂直的判定定理，所以平面，因?yàn)?/span>在面內(nèi)，所以可得；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，取中點(diǎn)為，連接，平面，平面，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面.

試題解析：（1）連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E

在四邊形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，

所以四邊形ADCE是正方形．

所以∠ACD=∠ACE=45°,因?yàn)锳E=CD=AB，所以BE=AE=CE

所以∠BCE═45°所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°

所以AC⊥BC，又因?yàn)锽C⊥PC，AC∩PC=C，AC平面PAC，PC平面PAC/p>

所以BC⊥平面PAC，而PA平面PAC，所以PA⊥BC．

（2）當(dāng)M為PB中點(diǎn)時，CM∥平面PAD，

證明：取AP中點(diǎn)為F，連接CM，F(xiàn)M，DF．則FM∥AB，F(xiàn)M=AB，

因?yàn)镃D∥AB，CD=AB，所以FM∥CD，F(xiàn)M=CD． 所以四邊形CDFM為平行四邊形，所以CM∥DF，

因?yàn)镈F平面PAD，CM平面PAD，所以，CM∥平面PAD．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直證明線線垂直，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.