Question

5．四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠BAD=60°，PD⊥平面ABCD，PD=8．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）E為PB中點(diǎn)，求AE與平面PBD所成的角；
（3）求點(diǎn)D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，則AC⊥BD．證明AC⊥平面PBD，即可證明PB⊥AC；
（2）設(shè)AC，BD交于O，由（1）可知AO⊥平面PBD，∠AEO是AE與平面PBD所成的角；
（3）利用等體積求點(diǎn)D到平面PAC的距離．

解答 （1）證明：連接AC，BD，則AC⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC；
（2）解：設(shè)AC，BD交于O，由（1）可知AO⊥平面PBD，
∴∠AEO是AE與平面PBD所成的角，
∵底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠BAD=60°，
∴AO=3$\sqrt{3}$，
∵PD=8，E為PB中點(diǎn)，
∴OE=4，
∴tan∠AEO=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴AE與平面PBD所成的角為arctan$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）解：連接PO，由（2）可知，PO=$\sqrt{64+9}$=$\sqrt{73}$，AC=6$\sqrt{3}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×\sqrt{73}$=3$\sqrt{219}$，
設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×3\sqrt{219}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}×8$，
∴h=$\frac{24\sqrt{73}}{73}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查體積的計(jì)算，屬于中檔題．