Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)的和為

3

4

，前三項(xiàng)的積為-

1

8

．
（Ⅰ）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等差數(shù)列，設(shè)b_n=（2n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則前三項(xiàng)為

a

q

，a，aq；
依題意，前三項(xiàng)的積為-

1

8

，可得a3=-

1

8

⇒a=-

1

2

，
由于

a

q

+a+aq=-

1

2q

-

1

2

-

1

2

q=

3

4

，解得q=-2或-

1

2

，
所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=-

1

2

•(-2)n-2=(-2)n-3或an=(-

1

2

)n-1．

（Ⅱ）若an=(-2)n-3，則a2=-

1

2

，a3=1，a1=

1

4

不成等差數(shù)列，不合條件，舍去．
若an=(-

1

2

)n-1，則a2=-

1

2

，a3=

1

4

，a1=1成等差數(shù)列，滿足條件，
故bn=(2n+1)•(-

1

2

)n-1，
Tn=3×(-

1

2

)0+5(-

1

2

)1+7(-

1

2

)2+…+(2n+1)(-

1

2

)n-1，
-

1

2

T_n=3×（-

1

2

）¹+5×（-

1

2

）²+7×（-

1

2

）³+…+（2n+1）×（-

1

2

）ⁿ，
將上兩式相減得：

3

2

Tn=3+2[(-

1

2

)1+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1]-(2n+1)(-

1

2

)n=3+2×

(- 1 2 )[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

-(2n+1)(-

1

2

)n=

7

3

-(2n+

7

3

)(-

1

2

)n
所以Tn=

14

9

-(

4

3

n+

14

9

)(-

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)基本數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，并考查了數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法，是最簡單也是最常用的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法．