Question

6．今年NBA總決賽在勇士和騎士隊之間進(jìn)行．按照規(guī)則，要想獲得總冠軍的隊伍需要在七場比賽中獲勝四場（如果提前贏得比賽，則剩下的就不用繼續(xù)；同時要注意的是，籃球比賽沒有平局，每場必須分出勝負(fù)）．假設(shè)勇士隊每場比賽獲勝的概率是$\frac{1}{2}$，且各場比賽獲勝與否彼此獨立，用X表示勇士隊在整個比賽中的獲勝場數(shù)，試回答以下問題：
（1）計算勇士隊至少獲勝一場的概率；
（2）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出勇士全負(fù)的概率，由此能求出勇士隊至少勝一場的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（1）∵勇士全負(fù)的概率為：（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
∴勇士隊至少勝一場的概率為：1-（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{15}{16}$．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（1-\frac{1}{2}）^{4}•\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
P（X=2）=${C}_{6}^{2}（1-\frac{1}{2}）^{4}•（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{5}{32}$，
P（X=3）=${C}_{6}^{3}（1-\frac{1}{2}）^{4}•（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{5}{32}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{3}（1-\frac{1}{2}）^{0}•（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{4}^{3}（1-\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$+${C}_{5}^{3}（1-\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$（1-$\frac{1}{2}$）³•（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{2}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{2}$

∴EX=$0×\frac{1}{16}+1×\frac{1}{8}+2×\frac{5}{32}+3×\frac{5}{32}+4×\frac{1}{2}$=$\frac{93}{32}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運(yùn)用．