Question

1．已知$\overrightarrow{u}$=（x，y），$\overrightarrow{v}$=（y，2y-x）的對應關系用$\overrightarrow{v}$=f（$\overrightarrow{u}$）表示．
（1）證明對于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及常數(shù)m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）成立．
（2）設$\overrightarrow{a}$=（-2，0），$\overrightarrow$=（cosα，sinβ），2cosβ-sinα=2，且f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow$）=2，求α+β．

Answer 1

分析 （1）設$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），根據(jù)對于法則分別計算f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$），mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）即可得出結論；
（2）求出f（$\overrightarrow{a}$），f（$\overrightarrow$），根據(jù)f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow$）=2得出2sinβ-cosα=1，將上式和2cosβ-sinα=2兩邊平方相加得出sin（α+β）=0，從而求出α+β．

解答 證明：（1）設$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），
則m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
∴f（$\overrightarrow{a}$）=（y₁，2y₁-x₁），f（$\overrightarrow$）=（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂），
而f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂），
∴f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）．
解：（2）f（$\overrightarrow{a}$）=（0，2），f（$\overrightarrow$）=（sinβ，2sinβ-cosα），
∴f（$\overrightarrow{a}$）•f（$\overrightarrow$）=4sinβ-2cosα=2，即2sinβ-cosα=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosβ-sinα=2}\\{2sinβ-cosα=1}\end{array}\right.$，
將兩式平方相加得：5-4cosβsinα-4sinβcosα=5，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=0，
即sin（α+β）=0，
∴α+β=kπ．k∈Z．

點評 本題考查了對新定義的理解，平面向量的坐標運算和數(shù)量積運算，屬于中檔題．