Question

已知Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，把△AEF沿EF折起，使得點A至點P的位置，如圖所示
（1）若PC=

6

，證明：PE⊥FC；
（2）若PB與平面BCFE所成角為30°，求平面PBE與平面PCF所成角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得折起后EF⊥PE，EF⊥BE，從而BC⊥BE，BC⊥PB，進而得到BE⊥PE，由此能證明PE⊥FC．
（2）由已知得EF⊥平面PBE，從而平面PBE⊥平面BCFE，過P作PO⊥平面BCFE，交BE延長線于點O，以O為原點，OB為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面PCF的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出平面PBE與平面PCF所成角的正切值．

解答： （1）證明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC=2，
E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，
∴折起后EF⊥PE，EF⊥BE，
∵BC∥EF，∴BC⊥BE，BC⊥PB，
∵PC=

6

，∴PB=

6-4

=

2

，
∵BE=PE=1，∴BE²+PE²=PB²，∴BE⊥PE，
∴PE⊥平面BCFE，又FC?平面BCFE，
∴PE⊥FC．
（2）解：由（1）知EF⊥PE，EF⊥BE，又BE∩PE=E，
∴EF⊥平面PBE，又EF?平面BCFE，∴平面PBE⊥平面BCFE，
過P作PO⊥平面BCFE，交BE延長線于點O，
∵PB與平面BCFE所成角為30°，∴∠PBE=∠EPB=30°，
PB=

1+1-2×1×1×cos120°

=

3

，
∴PO=

3

2

，BO=

3

2

，
以O為原點，OB為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，

3

2

），C（

3

2

，2，0），F(xiàn)（

1

2

，1，0），

PC

=(

3

2

，2，-

3

2

)，

PF

=（

1

2

，1，-

3

2

），
設平面PCF的法向量

n

=（x，y，z），
則

PC • n = 3 2 x+2y- 3 2 z=0 PF • n = 1 2 x+y- 3 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-

3

3

），
又平面PBE的法向量

m

=（0，1，0），
設平面PBE與平面PCF所成角為θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

7 3

=

3

7

，sinθ=

1-( 3 7 )2

=

2 10

7

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2 10

3

．
∴平面PBE與平面PCF所成角的正切值為

2 10

3

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，空間向量、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．