Question

已知f（x）=

x2-ax+2

ex

在其圖象上任一點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率都小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x₀）＜0，即有x₀²-（2+a）x₀+a+2＞0恒成立，運(yùn)用判別式小于0，解不等式即可得到．

解答： 解：f（x）=

x2-ax+2

ex

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

(2x-a)ex-(x2-ax+2)ex

e2x

=

-x2+(2+a)x-a-2

ex

，
由f（x）在其圖象上任一點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率都小于零，
則f′（x₀）＜0，
即有x₀²-（2+a）x₀+a+2＞0恒成立，
由于x₀∈R，則判別式△=（2+a）²-4（a+2）＜0，
解得-2＜a＜2．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，同時(shí)考查二次不等式恒成立的條件，屬于中檔題．