Question

19．如圖，圖1是定義在R上的指數(shù)函數(shù)g（x）的圖象，圖2是定義在（0，+∞）上的對數(shù)函數(shù)h（x）的圖象，設f（x）=h（g（x）-1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求方程f（x）-x+1=0的解；
（Ⅲ）求不等式f（x）＜2成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖象求出g（x）和h（x）的解析式，代入f（x）=h（g（x）-1）化簡；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡方程，利用指對互化和指數(shù)的運算求出方程的根；
（Ⅲ）由（Ⅰ）化簡不等式，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運算法則，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）由圖知g（x）、h（x）的圖象分別過（1，2）、（2，1）兩點，
∴g（x）=2^x，h（x）=${log}_{2}^{x}$，
∴f（x）=h（g（x）-1）=h（2^x-1）=${log}_{2}^{（{2}^{x}-1）}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，方程f（x）-x+1=0是：${log}_{2}^{（{2}^{x}-1）}$-x+1=0，
∴${log}_{2}^{（{2}^{x}-1）}$=x-1，則2^x-1=2^x-1=$\frac{1}{2}{•2}^{x}$，
即2^x=2，解得x=1，
∴方程f（x）-x+1=0的根是1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，不等式f（x）＜2是：${log}_{2}^{（{2}^{x}-1）}$＜2，
∴${log}_{2}^{（{2}^{x}-1）}$＜${log}_{2}^{4}$，
∵函數(shù)h（x）=${log}_{2}^{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1＞0}\\{{2}^{x}-1＜4}\end{array}\right.$，解得$0＜x{＜log}_{2}^{5}$，
∴不等式的解集是（0，${log}_{2}^{5}$）．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)，指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，以及有關對數(shù)、指數(shù)的方程、不等式的求解，注意對數(shù)的定義域的限定．