Question

16．如圖，已知三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB上的點(diǎn)，若PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，AB=AC=BC=1，且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$．
（1）判斷四邊形DEFG的形狀并求其面積的最大值；
（2）在（1）的條件下是否存在點(diǎn)Q，到三棱錐P-ABC六條棱的中點(diǎn)相等．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$，得出DE∥GF，DG∥EF，判斷四邊形DEFG是平行四邊形；
再利用等腰三角形底邊的中線，判斷平行四邊形DEFG是矩形，從而求出矩形DEFG面積的最大值；
（2）利用該三棱錐的對(duì)稱性，得出在（1）的條件下存在點(diǎn)Q，到三棱錐P-ABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等．

解答 解：（1）三棱錐P-ABC中，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AP}$，∴DE∥PC，
$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BG}{BP}$，∴GF∥PC，
∴DE∥GF；
同理，DG∥EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
又取AB的中點(diǎn)M，連接PM、CM，∴PM⊥AB，CM⊥AB，
如圖1所示；
且PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PCM，
又PC?平面PCM，
∴AB⊥PC，
又AB∥EF，DE∥PC，
∴EF⊥DE，
平行四邊形DEFG是矩形；
在矩形DEFG中，
∵$\frac{DE}{PC}$=$\frac{AE}{AC}$，∴DE=$\frac{PC}{AC}$•AE=$\sqrt{2}$AE；
又∵$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，∴EF=$\frac{AB}{AC}$•CE=CE；
∴矩形DEFG的面積為S_矩形DEFG=DE•EF=$\sqrt{2}$AE•CE
當(dāng)AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$時(shí)，S_矩形DEFG的面積最大，
最大值為$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（2）在（1）的條件下存在點(diǎn)Q，到三棱錐P-ABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等；
理由是：連接DF、EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，
則DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=$\frac{1}{2}$EG；
分別取AB、PC的中點(diǎn)M、N，連接ME、NE、MG、NG、MN，如圖2所示；
與（1）同理可證，四邊形MENG是矩形，其對(duì)角線的交點(diǎn)是EG的中點(diǎn)Q，
且QM=QN=$\frac{1}{2}$EG；
所以，Q為滿足條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是綜合性題目．