Question

8．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，點(diǎn)（a，b）在直線x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（1）求C的大��；
（2）若c=7，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（a，b）代入直線方程，利用正弦定理進(jìn)行化簡后求出cosC的值，由內(nèi)角的范圍即可求出C；
（2）利用余弦定理和基本不等式化簡，求出a+b的范圍，再由三邊的關(guān)系求出△ABC周長的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，點(diǎn)（a，b）在直線x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，
∴a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
根據(jù)正弦定理得，a（a-b）+b²=c²，
整理得，ab=a²+b²-c²，則cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）和余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab
則49=（a+b）²-3ab≥${（a+b）}^{2}-\frac{3}{4}（a+b）^{2}=\frac{1}{4}（a+b）^{2}$，
∴（a+b）²≤4×49，則a+b≤14（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立），
∵a+b＞7，c=7，
∴△ABC的周長的取值范圍是（14，21]．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦定理，三角形三邊關(guān)系，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．