【題目】如圖,直四棱柱的底面是菱形,,,,,,分別是,,的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)過作,證明,再證明,可得,再由線面平行的判定可得平面;
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以垂直于得直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.
(1)如圖,過作,則,且,
又,,四邊形為平行四邊形,則,
由,為中點(diǎn),得為中點(diǎn),而為中點(diǎn),
,,則四邊形為平行四邊形,則,
,
平面,平面,
平面;
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以垂直于得直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,
,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由,取,得,
又平面MAA1的一個(gè)法向量為,
.
二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓有一個(gè)內(nèi)含圓x2+y2=,該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M,N,且 (O為原點(diǎn)).
(1)求b的值;
(2)設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B.求證:,并求|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的個(gè)數(shù)是( )
①設(shè)某大學(xué)的女生體重與身高具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù),用最小二乘法建立的線性回歸方程為 ,則若該大學(xué)某女生身高增加,則其體重約增加;
②關(guān)于的方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦,為原點(diǎn),若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓;
④已知是橢圓的左焦點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,若直線的斜率大于,則直線(為原點(diǎn))的斜率的取值范圍是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn),圓的方程為,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)能否作一條直線,與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值.
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為0?若存在,試求出的值:若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是他們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系(),點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且滿足,點(diǎn)的軌跡為。
(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求面積的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用,需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬元)對(duì)年銷量(單位:噸)和年利潤(單位:萬元)的影響對(duì)近6年宣傳費(fèi)和年銷量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費(fèi)(萬元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量(噸) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式,兩邊取對(duì)數(shù),即,令,即對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研,求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于21噸的概率.
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(3)若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200(萬元),且每生產(chǎn)1(噸)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20(萬元)(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費(fèi)),銷售收入為(萬元),假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),2019年該公司計(jì)劃投入108萬元宣傳費(fèi),你認(rèn)為該決策合理嗎?請(qǐng)說明理由.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
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