Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，圓的方程為，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)能否作一條直線，與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

（1）由題意，.由橢圓的定義可得的軌跡方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入的軌跡方程. 設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得，可求，即求直線的方程.

（1）連接，由題意，.

又點(diǎn)在圓內(nèi)，.

根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為實(shí)軸長的橢圓.

其中，，，

所以的軌跡方程為.

（2）易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，即

把代入軌跡方程，

得

設(shè)點(diǎn)，則，解得

此時(shí)方程為，方程根的判別式為，所以方程有實(shí)數(shù)解.

所以直線的方程為.