Question

13．袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球．設取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分．
求：（1）得分ξ的概率分布
（2）得分ξ的數(shù)學期望和方差．

Answer 1

分析 （1）取出的4只球顏色的分布情況紅4得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，分別求出相應的概率，由此能求出得分ξ的概率分布．
（2）由得分ξ的概率分布能求出得分ξ的數(shù)學期望和方差．

解答 解：（1）由題意知直接考慮得分的話，情況較復雜，
可以考慮取出的4只球顏色的分布情況：
∵紅4得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，
∴P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=7）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	5	6	7	8
X	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

（2）ξ的數(shù)學期望Eξ=$5×\frac{4}{35}+6×\frac{18}{35}+7×\frac{12}{35}+8×\frac{1}{35}$=$\frac{44}{7}$．
ξ的數(shù)學期望和方差Dξ=（5-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{4}{35}$+（6-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{18}{35}$+（7-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{12}{35}$+（8-$\frac{44}{7}$）²×$\frac{1}{35}$=$\frac{49}{24}$．

點評 解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．