Question

14．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=-$\sqrt{3}$x，離心率為e，則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$的最小值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{4}$+$\frac{a}•a$=$\frac{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，利用基本不等式，即可求出$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$的最小值．

解答 解：由題意，$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{4}$+$\frac{a}•a$=$\frac{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≥2$\sqrt{4•（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，當且僅當$\frac{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，即a=2，b=2$\sqrt{3}$時，等號成立．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．