Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且4sinAsinC-4cos²$\frac{A-C}{2}$=$\sqrt{2}$-2．
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若C=$\frac{π}{3}$，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的余弦公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，即可得到B的大小；
（Ⅱ）運(yùn)用正弦定理，求得c，再由余弦定理，可得a，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）由條件得4sinAsinC=2（2${cos^2}\frac{A-C}{2}-1$）$+\sqrt{2}$
即4sinAsinC=2cos（A-C）$+\sqrt{2}$=2（cosAcosC+sinAsinC）$+\sqrt{2}$
化簡(jiǎn)得 cos（A+C）=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜A+C＜π，∴$A+C=\frac{3π}{4}$，
又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}即\frac{2}{sin{45°}^{\;}}=\frac{c}{sin{60°}^{\;}}$，則$c=\sqrt{6}$，
由${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB得4={a^2}-2\sqrt{3}a+6$，
即${a^2}-2\sqrt{3}a+2=0$，∴$a=\sqrt{3}+1或a=\sqrt{3}-1（舍去）$，
$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理和面積公式的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．