Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sinx（${\sqrt{3}cosx-sinx}$）．
（1）求函數(shù)f（x）在（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上的值域；
（2）在△ABC中，f（C）=0，且sinB=sinAsinC，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得到f（x）的值域．
（2）根據(jù)f（C）=0求出角C，sinB=sinAsinC=sin（A+C）利用和與差公式，即可求tanA的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinx（${\sqrt{3}cosx-sinx}$）．
化簡可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）∵x∈（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上時，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）．
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1
故得函數(shù)f（x）在（${-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}$）上的值域為（-2，1]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∵f（C）=0，
即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，
∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$．
得：C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=sinAsinC，
可得sin（A+C）=sinAsinC，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=sinAsin$\frac{π}{3}$．
得：（$\sqrt{3}-1$）sinA=$\sqrt{3}$cosA．
那么：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．