Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosC=$\frac{a}$．
（1）求B；
（2）設(shè)CM是角C的平分線，且CM=1，a=$\frac{3}{4}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．可得a²+c²=b²，由勾股定理可求B=90°．
（2）在Rt△MBC中，由三角函數(shù)的定義可求cos∠BCM，利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cos∠ACB，可得$\frac{3}{4b}$=2×（$\frac{3}{4}$）²-1，即可解得b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵由已知及余弦定理可得：cosC=$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
∴a²+c²=b²，
∴B=90°…4分
（2）在Rt△MBC中，cos∠BCM=$\frac{\frac{3}{4}}{1}$=$\frac{3}{4}$，…6分
∴cos∠ACB=2cos²∠BCM-1，…8分
∴$\frac{3}{4b}$=2×（$\frac{3}{4}$）²-1，…10分
∴解得：b=6…12分

點評 本題主要考查了余弦定理，勾股定理，三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．