Question

12．若不等式x²-ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，則橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得1，2為方程x²-ax+b=0的解，運用韋達定理可得a，b，再由橢圓的基本量的關系可得c，運用離心率公式即可得到所求值．

解答 解：不等式x²-ax+b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
可得1，2為方程x²-ax+b=0的解，
即有1+2=a，1×2=b，
即a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，同時考查二次不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎題．