Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，公差d＞0，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，從而可得（2+d）²=2（4+2d），從而解得；
（II）由（I）知c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則
b₁=a₁+1=2，b₂=a₂+1=2+d，b₃=a₃+3=4+2d，
故（2+d）²=2（4+2d），
∵d＞0，解得，d=2，q=2，
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ；
（II）由（I）知c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故T_n=$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+5×（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
2T_n=1+3×（$\frac{1}{2}$）+5×（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
T_n=1+1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的應(yīng)用及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．