Question

在遞減的等比數(shù)列{a_n}中，設(shè)S_n為其前n項(xiàng)和，已知a₂=

1

4

，S₃=

7

8

．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂S_n，試比較

bn+bn+2

2

與b_n+1的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₂=

1

4

，S₃=

7

8

，建立方程組，即可求a_n，S_n；
（Ⅱ）b_n+1=log₂S_n+1，由于函數(shù)y=log₂x在定義域上為增函數(shù)，所以只需比較(Sn•Sn+2)

1

2

與S_n+1的大小關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，

a1q= 1 4 a1(1+q+q2)= 7 8

解得q=2或q=

1

2

．
由上面方程組可知a₁＞0，且已知數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，所以q=

1

2

．
代入求得a1=

1

2

，則an=(

1

2

)n.Sn=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n…．（6分）
（Ⅱ）依題意，

bn+bn+2

2

=

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)=

1

2

log2(Sn•Sn+2)=log2(Sn•Sn+2)

1

2

；
b_n+1=log₂S_n+1，
由于函數(shù)y=log₂x在定義域上為增函數(shù)，
所以只需比較(Sn•Sn+2)

1

2

與S_n+1的大小關(guān)系，
即比較S_n•S_n+2與S²_n+1的大小關(guān)系，[1-(

1

2

)n][1-(

1

2

)n+2]=1-(

1

2

)n-(

1

2

)n+2+(

1

2

)2n+2，[1-(

1

2

)n+1]2=1-2•(

1

2

)n+1+(

1

2

)2n+2，
由于(

1

2

)n+(

1

2

)n+2＞2

( 1 2 )2n+2

，
即(

1

2

)n+(

1

2

)n+2＞2•(

1

2

)n+1，
所以[1-(

1

2

)n][1-(

1

2

)n+2]＜[1-(

1

2

)n+1]2．
即S_n•S_n+2＜S²_n+1，
即

bn+bn+2

2

＜b_n+1…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．