在遞減的等比數(shù)列{an}中,設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2=
1
4
,S3=
7
8

(Ⅰ)求an,Sn;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2Sn,試比較
bn+bn+2
2
與bn+1的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
考點(diǎn):數(shù)列與函數(shù)的綜合
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)利用a2=
1
4
,S3=
7
8
,建立方程組,即可求an,Sn;
(Ⅱ)bn+1=log2Sn+1,由于函數(shù)y=log2x在定義域上為增函數(shù),所以只需比較(SnSn+2)
1
2
與Sn+1的大小關(guān)系.
解答: 解:(Ⅰ)由已知可得,
a1q=
1
4
a1(1+q+q2)=
7
8

解得q=2或q=
1
2

由上面方程組可知a1>0,且已知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,所以q=
1
2

代入求得a1=
1
2
,則an=(
1
2
)n
.Sn=
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
=1-(
1
2
)n
….(6分)
(Ⅱ)依題意,
bn+bn+2
2
=
1
2
(log2Sn+log2Sn+2)=
1
2
log2(SnSn+2)
=log2(SnSn+2)
1
2
;
bn+1=log2Sn+1,
由于函數(shù)y=log2x在定義域上為增函數(shù),
所以只需比較(SnSn+2)
1
2
與Sn+1的大小關(guān)系,
即比較Sn•Sn+2與S2n+1的大小關(guān)系,[1-(
1
2
)
n
][1-(
1
2
)
n+2
]
=1-(
1
2
)n-(
1
2
)n+2+(
1
2
)2n+2
,[1-(
1
2
)
n+1
]2
=1-2•(
1
2
)n+1+(
1
2
)2n+2

由于(
1
2
)n+(
1
2
)n+2>2
(
1
2
)
2n+2
,
(
1
2
)n+(
1
2
)n+2>2•(
1
2
)n+1
,
所以[1-(
1
2
)
n
][1-(
1
2
)
n+2
]
<[1-(
1
2
)
n+1
]2

即Sn•Sn+2<S2n+1
bn+bn+2
2
<bn+1….(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng),考查大小比較,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,空間四邊形ABCD中,各邊及對(duì)角線長(zhǎng)均為2,E是AB的中點(diǎn),過(guò)CE且平行于AD的平面交BD于F,則△CEF的面積為
 

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數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=
2an
4+an
(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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在多面體ABCDE中,BC=BA,DE∥BC,AE⊥平面BCDE,BC=2DE,F(xiàn)為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面ACD;
(Ⅱ)若EA=EB=CD,求二面角B-AD-E的正切值的大。

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已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x0∈(0,e],在(0,e]上存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
求a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=3x2-1在區(qū)間(0,1)上有唯一零點(diǎn)x0,如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)(精確度ε=0.05)的近似值,那么將區(qū)間(0,1)等分的次數(shù)至少是
 
,此時(shí)并規(guī)定只要零點(diǎn)的存在區(qū)間(a,b)滿足|a-b|<ε時(shí),用
a+b
2
作為零點(diǎn)的近似值,那么求得x0=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值;
(Ⅱ)證明:平面ABM⊥平面A1B1M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=
-x
的圖象和其在點(diǎn)(-1,1)處的切線與x軸所圍成區(qū)域的面積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1、F2,過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若 
AF1
=3
F1B
,且cos∠AF2B=
3
5
,則橢圓C的離心率是
 

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