已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x0∈(0,e],在(0,e]上存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-1-2lnx,f′(x)=1-
2
x
=
x-2
x
.分別解出f′(x)<0,f′(x)>0,即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)g′(x)=(1-x)e1-x,分別解出g′(x)>0,g′(x)<0,即可得出函數(shù)g(x)的單調(diào)性極值與最值.因此函數(shù)g(x)在(0,e]上的值域?yàn)椋?,1].
當(dāng)a=2時(shí),不適合題意;當(dāng)a≠2時(shí),f′(x)=
(2-a)(x-
2
2-a
)
x
,x∈(0,e].由于在(0,e]上存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,可得:函數(shù)f(x)在(0,e]上不單調(diào),于是0<
2
2-a
<e

解得a<2-
2
e
①,此時(shí),當(dāng)x變化時(shí),可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性極值與最值.由于x→0時(shí),f(x)→+∞,f(
2
2-a
)=a-2ln(
2
2-a
)
,f(e)=(2-a)(e-1)-2.由題意當(dāng)且僅當(dāng)滿足:f(
2
2-a
)
≤0②,f(e)≥1③.再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.
解答: 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-1-2lnx,f′(x)=1-
2
x
=
x-2
x

由f′(x)<0,解得0<x<2;由f′(x)>0,解得2<x.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).
(2)g′(x)=(1-x)e1-x
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1<x時(shí),g′(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∵g(0)=0,g(1)=1,1>g(e)=e•e1-e=e2-e>0,
∴函數(shù)g(x)在(0,e]上的值域?yàn)椋?,1].
當(dāng)a=2時(shí),不適合題意;
當(dāng)a≠2時(shí),f′(x)=
(2-a)(x-
2
2-a
)
x
,x∈(0,e].
∵在(0,e]上存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
∴函數(shù)f(x)在(0,e]上不單調(diào),∴0<
2
2-a
<e

a<2-
2
e
①,此時(shí),當(dāng)x變化時(shí),列表如下:
x(0,
2
2-a
)
2
2-a
(
2
2-a
,e]
f′(x)-0+
f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
∵x→0時(shí),f(x)→+∞,f(
2
2-a
)=a-2ln(
2
2-a
)
,f(e)=(2-a)(e-1)-2.
由于對(duì)任意的x0∈(0,e],在(0,e]上存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
當(dāng)且僅當(dāng)滿足:f(
2
2-a
)
≤0②,f(e)≥1③.
令h(a)=a-2ln(
2
2-a
)
,a∈(-∞,2-
2
e
)
,h′(a)=
a
a-2

令h′(a)=0,解得a=0.
當(dāng)a∈(-∞,0)時(shí),h′(a)>0,函數(shù)h(a)為增函數(shù);
當(dāng)a∈(0,2-
2
e
)
時(shí),h′(a)<0,函數(shù)h(a)為減函數(shù).
∴當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)h(a)取得極大值即最大值,h(0)=0.即②式在a∈(-∞,2-
2
e
)
恒成立.
由③式解得a≤2-
3
e-1
,④.
由①④可得:當(dāng)a∈(-∞,2-
3
e-1
]
時(shí),對(duì)任意的x0∈(0,e],在(0,e]上存在兩個(gè)不同的
xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了分類討論的思想方法與恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知x≥1,試證明(1+
1
x
x<e.

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(1)證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=-2,求函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值;
(3)解關(guān)于x的不等式
1
2
f(-2x2)-f(x)>
1
2
f(4x)-f(-2).

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在遞減的等比數(shù)列{an}中,設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2=
1
4
,S3=
7
8

(Ⅰ)求an,Sn;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2Sn,試比較
bn+bn+2
2
與bn+1的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC1的中點(diǎn),則DE與面BCC1B1所成角的正切值為(  )
A、
6
2
B、
6
2
C、
2
D、
2
2

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數(shù)列{an}滿足a1=
π
6
,an∈(-
π
2
π
2
),且tanan+1•cosan=1(n∈N*).
(Ⅰ)證明數(shù)列{tan2an}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{tan2an}的前n項(xiàng)和;
(Ⅱ)求正整數(shù)m,使得11sina1•sina2•…•sinam=1.

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已知函數(shù)y=f(x),若在區(qū)間(-2,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)x0,使得f(x0)=1成立,則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)M.
(Ⅰ)若f(x)=sinx+2,判斷f(x)是否具有性質(zhì)M,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1具有性質(zhì)M,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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