Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）
（1）若a₁＞a₂，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）若λ≠-2，記b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），可得a₂=$\frac{2}{λ+1}$．由于a₁＞a₂，可得$λ＞\frac{2}{λ+1}$，解出即可；
（2）λ≠-2，b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}$=$-\frac{1}{2}_{n}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．則?n∈N^*，則a_n+1＜a_n，由（1）可得：當(dāng)a₁＞a₂時(shí)，解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．（*）
同理由a₃＜a₂，可得$\frac{λ+1}{λ+3}＜\frac{1}{λ+1}$，解出判定即可．

解答 解：（1）∵a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴${a}_{2}=\frac{2}{{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{λ+1}$．
∵a₁＞a₂，∴$λ＞\frac{2}{λ+1}$，化為（λ+2）（λ+1）（λ-1）＞0，
解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-2，-1）∪（1，+∞）；
（2）λ≠-2，b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}$=$\frac{-（{a}_{n}-1）}{2（{a}_{n}+2）}$=$-\frac{1}{2}_{n}$，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$_{1}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+2}$=$\frac{λ-1}{λ+2}$，公比為$-\frac{1}{2}$．
∴$_{n}=\frac{λ-1}{λ+2}×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．
則?n∈N^*，則a_n+1＜a_n，
由（1）可得：當(dāng)a₁＞a₂時(shí)，解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．（*）
同理由a₃＜a₂，可得$\frac{λ+1}{λ+3}＜\frac{1}{λ+1}$，
化為（λ+3）（λ+2）（λ+1）（λ-1）＜0，
解得-3＜λ＜-2，-1＜λ＜1．與（*）矛盾．
因此不存在λ使得數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)及其解法，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．