Question

2．已知平面圖形ABCD為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線，其余各邊均在此直線的同側(cè)），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，則四邊形ABCD面積S的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{30}$
• B． 2$\sqrt{30}$
• C． 4$\sqrt{30}$
• D． 6$\sqrt{30}$

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，在△ABC和△ACD中，由余弦定理可得，15cosD-8cosB=7，再由三角形的面積公式可得8sinB+15sinD=2S，兩式兩邊平方結(jié)合兩角和的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，即可求得最大值．

解答 解：設(shè)AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得，
x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得，
x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
即有15cosD-8cosB=7，
又四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$×2×4sinB+$\frac{1}{2}$×3×5sinD
=$\frac{1}{2}$（8sinB+15sinD），
即有8sinB+15sinD=2S，
又15cosD-8cosB=7，
兩式兩邊平方可得，64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4s²，
化簡可得，-240cos（B+D）=4S²-240，
由于-1≤cos（B+D）＜1，即有S≤2$\sqrt{30}$．
當(dāng)cos（B+D）=-1即B+D=π時，4S²-240=240，
解得S=2$\sqrt{30}$．
故S的最大值為2$\sqrt{30}$．
故選B．

點評 本題考查三角形的面積公式和余弦定理的運用，同時考查兩角和的余弦公式的運用和余弦函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．