【題目】如圖,在棱長為的正方形中,、分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)將點(diǎn)以為軸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.
(1)證明:;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意畫出平面圖形及空間幾何圖形,由中位線定理及正方形性質(zhì)證明面,即可得.
(2).過作,以OA,OB,OM為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),即可由平面向量數(shù)量積定義求得異面直線與所成角的余弦值.
(1)證明:在正方形中,連結(jié)交于.連結(jié),如下圖所示:
則.
因?yàn)?/span>、分別為,邊上的中點(diǎn),
所以.
所以.
在空間幾何體中如下圖所示:
所以在棱錐中,,,
所以面,
又因?yàn)?/span>面,
所以.
(2)設(shè).過作,已知OA,OB,OM兩兩垂直,
如圖分別以OA,OB,OM為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示:
,,,,,
,,
,
所以與面所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個(gè)好集合.以下記為的元素個(gè)數(shù).
(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)
(2)求出所有滿足的好集合.(同時(shí)說明理由)
(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的焦距為2,左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)連線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(m,0)作圓x2+y2=1的一條切線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|的值最大時(shí),求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在上的最小值;
(2)若直線是函數(shù)的切線方程,求實(shí)數(shù)的值;
(3)若,證明:對任意實(shí)數(shù),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”原文是:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也以等數(shù)約之”即(如果需要對分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分,那么)可以折半的話,就折半(也就是用2來約分).如果不可以折半的話,那么就比較分母和分子的大小,用大數(shù)減去小數(shù),互相減來減去,一直到減數(shù)與差相等為止,用這個(gè)相等的數(shù)字來約分.如圖是“更相減損術(shù)”的程序框圖,如果輸入,,則輸出的值是( )
A.72B.70C.34D.36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會,通過隨機(jī)抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
組別 | ||||||
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.
①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;
②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保,針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎活動;其他參與的市民獲得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率.如下表:
紅包金額(單位:元) | 10 | 20 |
概率 |
現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對,不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】政府為了穩(wěn)定房價(jià),決定建造批保障房供給社會,計(jì)劃用萬的價(jià)格購得一塊建房用地,在該土地上建幢樓房供使用,每幢樓的樓層數(shù)相同且每層建套每套平方米,經(jīng)測算第層每平方米的建筑造價(jià)(元)與滿足關(guān)系式(其中為整數(shù)且被整除) ,根據(jù)某工程師的個(gè)人測算可知,該小區(qū)只有每幢建層時(shí)每平方米平均綜合費(fèi)用才達(dá)到最低,其中每平方米.
(1)求的值;
(2)為使該小區(qū)平均每平方米的平均綜合費(fèi)用控制在元以內(nèi),每幢至少建幾層?至多造幾層?
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