【題目】已知橢圓C:的焦距為2,左頂點與上頂點連線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)過點P(m,0)作圓x2+y2=1的一條切線l交橢圓C于M,N兩點,當|MN|的值最大時,求m的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由題意得,解方程組即可得解;
(Ⅱ)討論切線l的斜率存在和不存在,當存在時設切線l方程為y=k(x﹣m),與橢圓聯(lián)立得(1+4k2)x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0,由直線與圓相切得,再利用弦長公式表示,從而得解.
(Ⅰ)由題意可知,解之得a=2,b=1.故橢圓C的標準方程為.
(Ⅱ)由題意知,|m|≥1,當|m|=1時,.
當|m|>1時,易知切線l的斜率存在,設切線l方程為y=k(x﹣m).
由,得(1+4k2)x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則,
由于過點P(m,0)的直線l與圓x2+y2=1相切,得 ,;
所以 .
當且僅當,即時,|MN|=2,即|MN|的最大值為2.
故m的值為.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線相交于、兩點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的右頂點到其一條漸近線的距離等于,拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則拋物線上的動點到直線和距離之和的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1) 證明:PB∥平面AEC
(2) 設二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積
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【題目】某公司的甲、乙兩名工程師因為工作需要,各自選購一臺筆記本電腦.該公司提供了三款筆記本電腦作為備選,這三款筆記本電腦在某電商平臺的銷量和用戶評分如下表所示:
型號 | |||
銷量(臺) | 2000 | 2000 | 4000 |
用戶評分 | 8 | 6.5 | 9.5 |
若甲選購某款筆記本電腦的概率與對應的銷量成正比,乙選購某款筆記本電腦的概率與對應的用戶評分減去5的值成正比,且他們兩人選購筆記本電腦互不影響.
(1)求甲、乙兩人選購不同款筆記本電腦的概率;
(2)若公司給購買這三款筆記本電腦的員工一定的補貼,補貼標準如下表:
型號 | |||
補貼(千元) | 3 | 4 | 5 |
記甲、乙兩人獲得的公司補貼之和為千元,求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】現(xiàn)準備將8本相同的書全部分配給5個不同的班級,其中甲、乙兩個班級每個班級至少2本,其它班級允許1本也沒有,則不同的分配方案共有( )
A.60種B.70種C.82種D.92種
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【題目】已知數(shù)列滿足,,若,則下列判斷正確的是( )
A.當時,數(shù)列是有窮數(shù)列B.當時,數(shù)列是有窮數(shù)列
C.當數(shù)列是無窮數(shù)列時,數(shù)列單調(diào)D.當數(shù)列單調(diào)時,數(shù)列是無窮數(shù)列
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【題目】如圖,在棱長為的正方形中,、分別為,邊上的中點,現(xiàn)將點以為軸旋轉(zhuǎn)至點的位置,使得為直二面角.
(1)證明:;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若對任意,都有恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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