Question

3．已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（10，0），B（8，$2\sqrt{3}$），C（0，$2\sqrt{3}$），點(diǎn)T在線段OA上（不與線段端點(diǎn)重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A′），折痕經(jīng)過點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S； 
（1）求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式； 
（2）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍； 
（3）S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求∠OAB的度數(shù)，我們可根據(jù)A、B的坐標(biāo)來求，根據(jù)tan∠OAB=B的縱坐標(biāo)的絕對值：A、B橫坐標(biāo)的差的絕對值，可得出∠OAB的度數(shù)．得出的∠BAO是60°后，以及折疊得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等邊三角形，且三邊長均為10-t．求面積就要有底邊和高，我們可以AA′為底邊，那么PT就是高，AA′=10-t，那么關(guān)鍵是PT的值，已知了∠BAT的度數(shù)，我們可以用AT的長以及∠BAT的正弦函數(shù)表示出PT的長，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．此時AT即AA′的最大值為AB的長，也就是4，因此AT的取值范圍是0＜AT≤4，那么t的取值范圍就是6≤t＜10；
（2）當(dāng)重疊部分是四邊形時，那么此時A′應(yīng)該在AB的延長線上，那么此時AA′的最小值應(yīng)該是AB的長即4，最大的值應(yīng)該是當(dāng)P與B重合時AA′的值即8，由于三角形ATA′是個等邊三角形，那么AT的取值范圍就是4＜AT＜8，那么t的取值就應(yīng)是2＜t＜6；
（3）可分成三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)A′在AB上時，即當(dāng)6≤t＜10時，可根據(jù)（1）的函數(shù)來求出此時S的最大值；
②當(dāng)A′在AB延長線上但P在AB上時，即當(dāng)2≤t＜6時，此時重合部分的面積=三角形AA′T的面積-上面的小三角形的面積，根據(jù)AT和AB的長，我們可得出A′B的長，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當(dāng)A′在AB延長線上且P也在AB延長線上時，即當(dāng)0＜t≤2時，重合部分的面積就是三角形EFT的面積（其中E是TA′與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TA與CB的交點(diǎn)）那么關(guān)鍵是求出BF，BE的值，知道了AT的長，也就知道了AP，A′P的長，根據(jù)AB=4我們不難得出BP的長，有了BP的長就可以求出A′B，BE的長，在直角三角形BPE中，可根據(jù)∠PBF的度數(shù)，和BP的長，來表示出BF的長，這樣我們就能表示出EF的長了，又知道EF邊上的高是OC的長，因此可根據(jù)三角形的面積來求出S的值．
然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答 解：（1）∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（10，0）和B（8，$2\sqrt{3}$），
∴$tan∠OAB=\frac{{2\sqrt{3}}}{10-8}=\sqrt{3}$，∴∠OAB=60°
當(dāng)點(diǎn)A?在線段AB上時，∵∠OAB=60°，TA=TA?，
∴△A?TA是等邊三角形，且TP⊥TA'，
∴$TP=（10-t）sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（10-t）$，$A'P=AP=\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}（10-t）$，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖（1），其中E是TA?與CB的交點(diǎn)），

當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是（2，0）
又由（1）中求得當(dāng)A?與B重合時，T的坐標(biāo)是（6，0）
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2＜t＜6．
（3）S存在最大值
①當(dāng)6≤t＜10時，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（10-t）^2}$，
在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，
∴當(dāng)t=6時，S的值最大是$2\sqrt{3}$．
②當(dāng)2≤t＜6時，由圖①，重疊部分的面積S=S_△A'TP-S_△A'EB
∵△A?EB的高是A'Bsin60°，
∴$S=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（10-t）^2}-\frac{1}{2}{（10-t-4）^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{8}（-{t^2}+4t+28）=-\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（t-2）^2}+4\sqrt{3}$
當(dāng)t=2時，S的值最大是$4\sqrt{3}$；
③當(dāng)0＜t＜2，即當(dāng)點(diǎn)A?和點(diǎn)P都在線段AB的延長線是（如圖②，其中E是TA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TP與CB的交點(diǎn)），
∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四邊形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴$S=\frac{1}{2}EF•OC=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
綜上所述，S的最大值是$4\sqrt{3}$，此時t的值是0＜t≤2．
8，$2\sqrt{3}$），
∴$tan∠OAB=\frac{{2\sqrt{3}}}{10-8}=\sqrt{3}$，∴∠OAB=60°
當(dāng)點(diǎn)A?在線段AB上時，∵∠OAB=60°，TA=TA?，
∴△A?TA是等邊三角形，且TP⊥TA'，
∴$TP=（10-t）sin60°=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（10-t）$，$A'P=AP=\frac{1}{2}AT=\frac{1}{2}（10-t）$，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖（1），其中E是TA?與CB的交點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是（2，0）
又由（1）中求得當(dāng)A?與B重合時，T的坐標(biāo)是（6，0）
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2＜t＜6．

（3）S存在最大值
①當(dāng)6≤t＜10時，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（10-t）^2}$，
在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，
∴當(dāng)t=6時，S的值最大是$2\sqrt{3}$．
②當(dāng)2≤t＜6時，由圖①，重疊部分的面積S=S_△A'TP-S_△A'EB
∵△A?EB的高是A'Bsin60°，
∴$S=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（10-t）^2}-\frac{1}{2}{（10-t-4）^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{8}（-{t^2}+4t+28）=-\frac{{\sqrt{3}}}{8}{（t-2）^2}+4\sqrt{3}$
當(dāng)t=2時，S的值最大是$4\sqrt{3}$；
③當(dāng)0＜t＜2，即當(dāng)點(diǎn)A?和點(diǎn)P都在線段AB的延長線是（如圖②，其中E是TA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TP與CB的交點(diǎn)），
∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四邊形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴$S=\frac{1}{2}EF•OC=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
綜上所述，S的最大值是$4\sqrt{3}$，此時t的值是0＜t≤2．

點(diǎn)評 這是試卷的壓軸題，考查知識點(diǎn)較多，是代數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，其中有分類思想的滲透．主要問題是在解題中計算三角形面積時沒有除以2，或分類情況不全面，或?qū)τ谌≈捣秶�的處理不到位．特別是認(rèn)為只存在一個t的值使得面積最大，導(dǎo)致失分較多．更多是缺乏對復(fù)雜問題的分析能力，導(dǎo)致不會做．