Question

【題目】如圖，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求 的最小值；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR||OS|是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：T（﹣2，0），∴a=2．又 ，a2=b2+c2，

聯立解得a=2，c= ，b=1．

∴橢圓C的方程為 =1

（2）解：設M（x0，y0），N（x0，﹣y0）．

把點M的坐標代入橢圓方程可得： =1﹣ ．

= ﹣ = ﹣ = ﹣ ，

∵﹣2＜x0＜2，

∴當且僅當x0=﹣ 時， 取得最小值﹣

（3）證明：設P（x1，y1），

直線MP的方程為：y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，可得xR= ，

同理可得：xS= ，

∵點M，P都在橢圓上，

∴ =4 ， =4 ，

∴：|OR||OS|=xRxS= = =4是定值

【解析】（1）由題意可知：T（﹣2，0），a=2．又 ，a2=b2+c2 ， 聯立解出即可得出．（2）設M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0）．把點M的坐標代入橢圓方程可得： =1﹣ ．利用數量積運算性質可得： = ﹣ ，﹣2＜x0＜2，再利用二次函數的單調性即可得出．（3）設P（x1 ， y1），直線MP的方程為：y﹣y1= （x﹣x1），令y=0，可得xR ， 同理可得：xS ， 利用點M，P都在橢圓上，及其|OR||OS|=xRxS即可證明．