Question

【題目】定義，，…，的“倒平均數(shù)”為.

（1）若數(shù)列前項的“倒平均數(shù)”為，求的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，.若為前項的倒平均數(shù)，求；

（3）設(shè)函數(shù)，對（1）中的數(shù)列，是否存在實數(shù)，使得當時，對任意恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)定義求得數(shù)列的前項和.再根據(jù)和項與通項關(guān)系求出的通項公式.

（2）先根據(jù)為偶數(shù)和為奇數(shù)時，分別求出數(shù)列的前項和，再根據(jù)定義求出，最后求出.

（3）先化簡不等式得對任意恒成立，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求最小值，最后根據(jù)不等式解集推導(dǎo)出存在最大的實數(shù)

（1）設(shè)數(shù)列的前項和為，

由題意，，

所以.

所以，當時，，

而也滿足此式.

所以的通項公式為.

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，則當為偶數(shù)時，，

當為奇數(shù)時，.

所以，

所以.

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得當時，對任意恒成立，

則對任意恒成立，

令，因為，

所以數(shù)列是遞增數(shù)列，

所以只要，即，

解得或.

所以存在最大的實數(shù)，

使得當時，對任意恒成立.