Question

12．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，DD₁⊥平面ABCD，AB=4，AA₁=2，點E₁在棱C₁D₁上，且D₁E₁=3．
（Ⅰ）在棱CD上確定一點E，使得直線EE₁∥平面D₁DB，并寫出證明過程；
（Ⅱ）若動點F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，請說明點F的軌跡，探求E₁F長度的最小值并求此時直線E₁F與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）當DE=D₁E₁時，可證EE₁∥DD₁，故而可得EE1∥平面D₁DB；
（II）求出EF的最小值，再利用勾股定理即可得出E₁F長度的最小值，且∠E₁FE為線E1F與平面ABCD所成的角．

解答 解：（Ⅰ）連接D₁B，DB，當DE=3時，直線EE₁∥平面D₁DB，
證明：∵DE∥D₁E₁，DE=D₁E₁，∴四邊形DEE₁D₁為平行四邊形，
∵EE₁∥DD₁，DD₁?平面D₁DB，EE₁?平面D₁DB，
∴直線EE₁∥平面D₁DB；
（Ⅱ）∵動點F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，∴點F的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的$\frac{1}{4}$圓周．
連接AE，則AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，∴EF的最短距離為AE-AF=3，
∵E₁F=$\sqrt{E{{E}_{1}}^{2}+E{F}^{2}}$，∴E₁F的長度最小值為$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$．
∵EE₁⊥平面ABCD，∴∠E₁FE為線E₁F與平面ABCD所成的角，
∴sin∠E₁FE=$\frac{E{E}_{1}}{{E}_{1}F}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，即直線E₁F與平面ABCD所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間距離及線面角的計算，屬于中檔題．