Question

20．設函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）當x∈R，0＜y＜1時，證明：|x+2|-|x-2|≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用絕對值的定義，去掉絕對值，得到分段函數(shù)，再由各段求范圍，最后求并集即可；
（II）由分段函數(shù)可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$的最小值，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4，x≥2}\\{2x，-2＜x＜2\;}\\{-4，\;\;\;x≤-2}\end{array}}\right.$，
由x≥2時，4＞2成立；-2＜x＜2時，2x≥2，即有x≥1，則為1≤x＜2．
故f（x）≥2的解集為{x|x≥1}．-----（5分）
（II）由（Ⅰ）知，∴$|{x+2}|-|{x-2}|≤\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}$；
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$=（$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$）[y+（1-y）]=2+$\frac{1-y}{y}$+$\frac{y}{1-y}$≥4，
∴$|{x+2}|-|{x-2}|≤\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}$．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意轉化為函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．