Question

14．已知數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．利用遞推關系即可得出．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N⁺．
∴n=1時，a₁=S₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$．n=1時也成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{2}$．
（2）b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$-4a_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1），
∴數列{b_n}的前n項和=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2（2+3+…+n+1）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2×$\frac{n（n+3）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-n²-3n．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．