Question

18．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于任意的x都滿足f（x+2）=f（x）．當(dāng)-1≤x＜1時，f（x）=x³．若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6個零點，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|的零點個數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與y=log₅|x|的交點的個數(shù)，由函數(shù)圖象的變換，分別做出y=f（x）與y=log_a|x|的圖象，結(jié)合圖象可得log_a5＜1 或 log_a5≥-1，由此求出a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|的零點個數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）與y=log_a|x|的交點的個數(shù)；
f（x+2）=f（x），函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又由當(dāng)-1＜x≤1時，f（x）=x³，
據(jù)此可以做出f（x）的圖象，
y=log_a|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=log_ax，
則當(dāng)x＜0時，y=log_a（-x），做出y=log_a|x|的圖象，
結(jié)合圖象分析可得：
要使函數(shù)y=f（x）與y=log_a|x|至少有6個交點，
則 log_a5＜1 或 log_a5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤$\frac{1}{5}$．
所以a的取值范圍是（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．
故答案為：（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)圖象的變化與應(yīng)用問題，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點，關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，由此分析兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，是綜合性題目．